Książka, powstała w wyniku wieloletniej pracy z uczniami i studentami, zawiera w czterech rozdziałach cały kurs rachunku prawdopodobieństwa w postaci zadań wraz z komentarzami, objaśnieniami i rozwiązaniami. Prawdopodobieństwo klasyczne – zadania. Rzucamy dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowanych oczek w jednym z rzutów jest kwadratem liczby oczek wyrzuconych w pozostałym rzucie. A = {(1, 1), (2, 4), (4, 2)} Odpowiedź: Szukane prawdopodobieństwo Rachunek prawdopodobieństw opiera się na trzech aksjomatach: 1. Prawdopodobieństwo P(xi) zdarzenia xi spełnia nierówność P(xi)≥0. 2. Jeżeli wiemy, że zdarzenie xi musi zajść, to P(xi)=1. 3. Dla zdarzeń xi (i =1,2, ,n) wzajemnie wykluczających się, czyli dla zdarzeń dla W ramach głównych dyscyplin matematycznych, takich jak algebra, analiza, geometria, logika, matematyka empiryczna (stosowana), rachunek prawdopodobieństwa i inne – wyróżniane są bardziej szczegółowe działy. Częściową udaną próbę hierarchicznego uporządkowania geometrii podjął w 2. poł. synonyms - rachunek prawdopodobieństwa report a problem. rachunek prawdopodobieństwa (n.) probabilistyka. Advertizing Назва предмета: Stochastyka dla nauczyciela : rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka matematyczna jako matematyka in statu nascendi Rachunek prawdopodobieństwa 1000-M1RPRn. Program wykładu. Elementy kombinatoryki (permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, kombinacje, rozmieszczenia uporządkowane elementów rozróżnialnych i nierozróżnialnych). Matematyczny model doświadczenia losowego, podstawowe postulaty rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń Kalkulator: https://www.naukowiec.org/kalkulatory/kombinatoryka.htmlO tym gościu co skreślił wszyskie kombinacje ale w Irlandii: https://youtu.be/X7jBvig5lzI Rachunek prawdopodobieństwa (MAP001151W) 1 miesiąc temu. Sprawdzić, czy suma mnogościowa i przekrój dwóch relacji równoważności na zbiorze X są także relacjami równoważności. Odpowiedź usadanij. Odpowiedzi. Rachunek prawdopodobieństwa (MAP001151W) 5 miesiące temu. Sprawdź niezależność zmiennych losowych X i Y zadanych KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIENSTWA • Podręcznik ☝ Darmowa dostawa z Allegro Smart! • Najwięcej ofert w jednym miejscu • Radość zakupów ⭐ 100% bezpieczeństwa dla każdej transakcji • Kup Teraz! cXVt. Opis Włodzimierz Łenski i Andrzej Patkowski "Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych - zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów", stan: bardzo dobry - (lekko podniszczona okładka), str: 205. "Książka, powstała w wyniku wieloletniej pracy z uczniami i studentami, zawiera w czterech rozdziałach cały kurs rachunku prawdopodobieństwa w postaci zadań wraz z komentarzami, objaśnieniami i rozwiązaniami. Ostatni, piąty rozdział to wybór zadań naturalnych z 1995 roku, z różnych województw, także rozwiązanych i skomentowanych. Zamierzeniem autorów było przełożenie na język akceptowany przez uczniów tajemnic działu matematyki sprawiającego wiele trudności. Indywidualne, odbiegające od tradycyjnego, szkolnego podejście do niektórych zadań, może zainteresować uczniów klas o profilu matematyczno-fizycznym oraz studentów matematyki wyższych szkół pedagogicznych i uniwersytetów." I. Doświadczenia losowe Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą . nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów: Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki . Opisując to doświadczenie przyjmujemy: 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie to liczba wyrzuconych oczek. 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu) lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce) lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia, III. Zdarzenia Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek. Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych . Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, B - wypadła liczba oczek nie większa niż 4, B = {1,2,3,4}, C - wypadła szóstka, C = {6}. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. IV. Działania na zdarzeniach Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich. nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B"). O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się. nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B"). Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B. Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa. V. Definicja prawdopodobieństwa Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem: Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp. Model uogólniony Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą, A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz. Wtedy A' - wypadły same reszki. i 4. Dla każdego zdarzenia A: 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to: 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5. VII. Prawdopodobieństwo warunkowe Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B). Przykłady 1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)? . Można było też zastosować wzór: , , , , 2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)? Zastosujmy wzór Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: Korzystając z tego można pójść dalej itd. Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew. VIII. Prawdopodobieństwo całkowite Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają, a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Formalnie oznacza to, że czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni . Na diagramie wygląda to np. tak Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie. Widać, że: Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy: Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to Uwaga. Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni W takim razie IX. Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A. Uwaga. Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’. X. Schemat Bernoulliego Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie. Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego. Przykłady schematu prób Bernolulliego 1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła a porażka jest wypadnięcie reszki 2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne", 3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki , 4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka). Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego. Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi Przykłady 1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia: a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę, b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki, c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę. a) b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd XI. Drzewa Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. Przykład takiego (problemu) doświadczenia. Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą? W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią. Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ? Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia . Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. . No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem. Podsumujmy krótko. zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół, krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół, węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia, gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie, prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa. Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu Oznaczamy zdarzenia: A - na kostce wypadło 6 oczek, A' - na kostce nie wypadło 6 oczek, B - wyciągnięto kulę białą, B' = C - wyciągnięto kule czarną. , lub inaczej Jeszcze jeden przykład W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna? Urna przed losowaniem: Oznaczamy zdarzenia: - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. XII. Wzór Bayesa Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Typowe przykłady 1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A? Wzór Bayesa Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0. Wtedy dla każdego i mamy gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite) Np. na diagramie Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Rozwiązanie przykładu 1. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów, B1 - rzucono monetą prawidłową, B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma. gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły. - prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła. Drzewo dla tego doświadczenia Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ... Tak rozwiążemy przykład 2. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: D - urządzenie jest wadliwe, A - urządzenie kupiono od dostawcy A, B - urządzenie kupiono od dostawcy B, C - urządzenie kupiono od dostawcy C. W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo, to Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio Drzewo dla tego doświadczenia Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%). Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami, które są konsekwencją doświadczeń losowych. Tyle definicja, a co rachunek prawdopodobieństwa daje nam w praktyce? Rachunek prawdopodobieństwa – dlaczego warto go znać? / fot. materiał prasowy Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami, które są konsekwencją doświadczeń losowych. Tyle definicja, a co rachunek prawdopodobieństwa daje nam w praktyce? Rachunek prawdopodobieństwa – dlaczego warto go znać? / fot. materiał prasowy Jak zostać rekinem finansjery Inwestowanie na giełdzie wymaga sporej wiedzy ekonomicznej, nieco szczęścia i… znajomości rachunku prawdopodobieństwa. Większość inwestorów stara się znaleźć ten jeden skuteczny system, dzięki któremu straty będą minimalne. Akcje można kupować w ciemno, kierując się wyłącznie intuicją albo na podstawie rachunku prawdopodobieństwa i statystyki. Oczywiście, rynki finansowe są zależne od tak wielu czynników, że nie da się ze stuprocentową pewnością stwierdzić, że najbardziej prawdopodobne wydarzenie stanie się faktem. Zwłaszcza że w grę wchodzą jeszcze tak nieprzewidywalne czynniki jak klęski żywiołowe, manipulacje inwestorów, wybuch wojny, etc. Jednak na bazie rachunku prawdopodobieństwa udało się stworzyć kilka systemów transakcyjnych, które może nie gwarantują ciągłego, wysokiego zysku, ale osiągają całkiem niezłe wyniki. Kto wygra Champions League? Zakłady bukmacherskie zawsze niosą ze sobą ryzyko przegranej, jednak doświadczeni gracze potrafią to ryzyko minimalizować na podstawie szczegółowych analiz poprzednich wyników. I rachunku prawdopodobieństwa, bo wiele sportowych wydarzeń można z większym bądź mniejszym prawdopodobieństwem przewidzieć. Najczęściej stosowanym systemem w bukmacherce jest progresja. Obstawiamy określony typ zakładów (np. remis w piłce nożnej), w przypadku przegranej zwiększamy stawkę i gramy tak do skutku. Ale znowu – rachunek prawdopodobieństwa przybliża nas do sukcesu, jednak go nie zapewnia, bo w sporcie nie da się wykluczyć nieprzewidywalnego czynnika ludzkiego: klub może stracić wskutek kontuzji najlepszego zawodnika, tenisista pokłóci się rano z żoną albo sportowca przytłoczy zwykła trema. Gry losowe to nie tylko łut szczęścia Mówi się, że ruletka to gra wybitnie losowa, ale czy na pewno? Miłośnicy takiej rozrywki są przekonani, że kilka powszechnie stosowanych systemów gry (np. zasada Martingale) jest w stanie zapewnić im wygraną. Systemy wymagają wprawdzie większej gotówki, bo gracz musi być przygotowany na „czarną serię” strat, ale w ogólnym rozrachunku system przyniesie upragniony zysk. Najczęściej jednak ruletka ma niewiele wspólnego z logiką i gra na nosie rachunkowi prawdopodobieństwa – to z definicji gra, w której przewaga jest zawsze po stronie kasyna. Trochę inaczej jest z blackjackiem. W tej grze faktycznie można wykorzystać wyliczenia matematyczne i ograć kasyno, ale w praktyce ta sztuka uda się tylko nielicznym. Dlaczego? Jak wiadomo, w kasynie nie można korzystać z kalkulatorów i jakichkolwiek materiałów pomocniczych, a liczenie w pamięci kart to zadanie dla matematycznych geniuszy. Jeśli zapamiętamy wszystkie schodzące karty, możemy z dużym prawdopodobieństwem wyliczyć, co w kolejnym rozdaniu pojawi się na stole. Blef, a może zwykła matematyka? W grze w pokera nie mamy wpływu na to, jakie dostaniemy karty. A jednak są gracze, którzy nawet z kiepskiej ręki potrafią wyjść na swoje i to wcale nie dzięki blefowaniu. Nie mają też jakiegoś niebywałego szczęścia, po prostu szybko potrafią wyliczyć najbardziej prawdopodobny scenariusz przy konkretnym rozdaniu. Doświadczeni pokerzyści umiejętnie wykorzystują dostępne informacje i są za pan brat z rachunkiem prawdopodobieństwa – dzięki temu są w stanie ocenić realną siłę swojej ręki, przewidzieć, jakie karty mogą mieć rywale i blefować z dużo większym powodzeniem.